橘子：最近，我在社区里挖到一篇特别的帖子，这篇帖子被五百多位花友收藏，不同于平时我们看到的经验干货，是一篇关于中小学数学课本的硬核科普贴。
有花友说：喜欢这样高屋建瓴的文章，太赞了。期待续篇。如能再给些适合小学生的学习方法，自学书籍及建议就更好了。
也有花友感叹：看了觉得自己没学过数学，从来不问为什么，只接受。
还有有花友称赞：厉害，看过数学与生活，对数的完备性稍有点了解，看了你这个，更清楚了。希望能多推荐些适合自学，还有小学生适合的书看看。
帖子的作者@归巢鸟，本科毕业于中科大，硕士毕业于霍普金斯的应用数学专业，下面是他的自述：
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中小学数学的内容之间往往缺少联系，代数是代数，几何是几何，这是怎么形成的？为什么中小学数学是这些内容，而不是别的？
在学习了不少较为高级的数学知识后，回头去看中小学的数学内容，有半山腰看山底的感觉。
数学学的越多，对不同知识点之间的关联就理解的越多。
因此今天我从另一个角度，分享一些个人体会。这些心得不见得对提高中小学数学学习能力有直接帮助，但也许会有些启发意义，或者对“奥数”学习也有些指导意义。
本文由花友 @归巢鸟 发布于小花生写作计划
为了便于理解，先读一段西游记中如来对来到西天的唐僧师徒说的话：
如来方开怜悯之口，大发慈悲之心，对三藏言曰：“…我今有经三藏，可以超脱苦恼，解释灾愆。三藏：有《法》一藏，谈天；有《论》一藏，说地；有《经》一藏，度鬼。共计三十五部，该一万五千一百四十四卷。
真是修真之径，正善之门，凡天下四大部洲之天文、地理、人物、鸟兽、花木、器用、人事，无般不载。汝等远来，待要全付与汝取去，但那方之人，愚蠢村强，毁谤真言，不识我沙门之奥旨。”
叫：“阿傩、伽叶，你两个引他四众，到珍楼之下，先将斋食待他。斋罢，开了宝阁，将我那三藏经中三十五部之内，各检几卷与他，教他传流东土，永注洪恩。”
细细读这段话，有很多方面颠覆传统认识。
首先佛经无般不载，佛经并不是成天讨论些轮回之类的玄乎其玄的东西，而是宇宙大百科全书，是系统的全部相通的知识。
其次，没有达到一定水平的人类，没法学习全部，只能从各个部分里选一些学习，这些知识可能是零碎不成体系的。但也只能先从这个方式入门学习了。
中小学数学的学习跟这个类似。整个数学大厦经过人类几千年的发展后，各个独立分支比如代数几何都已经高度贯通，成了一个极其庞大又有机融洽的整体。
面对这么庞大的体系，中小学在入门的时候只能先从很多零碎孤立的知识点开始学习。
这种学习方法很无奈，学习的过程中有心的学生往往不能理解，为什么学一些代数，突然又去学几何，来回切换。
物理学的学习也有这个特点，但物理学好歹有客观世界对应，学了力学又学热学并不奇怪，而数学较为抽象，在看到全局大厦之前不容易明白为什么要按教材的顺序学习。
如前所说，数学大厦是一块整体，为了分析方便，只能强行划分一下，大致可以分为代数、几何、分析、拓扑四大块。划分方式没有统一标准，见仁见智。
中小学学哪些数学知识，跟阿傩伽叶给唐僧师徒挑选经书一样，并没有绝对或固定的标准，古今不同，中外也不同，而且还要随着数学前沿的发展和热点的变迁而变化。
人教版2019年高中数学必修教材目录
算术与代数
算术可能是最早的数学了，随着生产的提高而产生，人类产生了计数与加减乘除运算的需要。农业社会下，算术取得的巨大发展，比如中国古代社会。
各种数的表示法应运而生，其中经过筛选，十进制成了最优选择。用抽象的数比如3代表各种不同的东西，比如3可以代表3头牛，也可以代表3只羊，这是数学上的第一次抽象，从具体的东西产生了数的概念，所以我们称这门学科为“数学”。
第二次抽象飞跃是代数，用符号代替具体的数，比如X既可以是3，也可以是5。数学的发展规律总是从具体到抽象，从特殊到一般。
研究更抽象更一般的情况，可以大大减少信息的储存空间，用较少的原则去处理大量不同的情况。比如1+1=2，可以代表牛的相加，也可以代表羊的相加。
中学基本就学到代数了。跟算术比，代数是更高的抽象，那有没有比代数更高的抽象呢？当然有。上面还有“抽象代数”，“代数结构”，“群论”，“环论”等很多高级的数学内容，其中群或环等是一些抽象的“代数结构”。
我们中小学学的实数上的加减乘除，仅仅是一种特殊的常用的代数结构，在数学大厦里还有很多别的代数结构，代数结构这门分支就是研究不同代数结构的性质。
比如，计算机科学里用到的0/1运算，叫布尔代数，就是另一种代数。在这种代数里，有与或两种运算，而且其形式是完全对称的。
中小学的算术里，加法和乘法是不对称的，从分配律可以看出，只有乘法分配律，而加法分配律A+B最C=(A+B)最(A+C)是错误的。但在计算机布尔代数里，两个分配律都是正确的。
计算机的发明与大规模应用，也从一个侧面证明研究不同于我们日常加减乘除的别的代数结构，是非常有必要的。
群论的天才创始人法国数学家伽罗瓦
抽象代数的研究由于是代数的拔高，所以能够解决在代数领域内的很多难题，比如五次（含）以上的一元方程没有通解公式。抽象代数还可以解决几何问题，比如尺规作图不能三等分角，不能倍立方。
这看起来是几何问题，但是两千年内在几何领域无法解决。后来数学家发现抽象代数的内容可以很好的描述尺规作图的能力（直尺和圆规，类似抽象代数里的两个运算），从而一举解决这个问题。
在本科花了一个学期艰苦学完代数结构这门课后，我曾开玩笑的说，如果先学完这门课再上中小学，那算术代数根本不需要学几年，三个月就够了，实在是太太太简单了：）
《抽象代数基础》
实际上，在数学家研究了抽象代数后，又回过头去对中小学的算术代数系统进行了深刻研究并将其公理化，严格论证了其合理性。
小学生在学加法的时候，最开始可能不理解为什么要相加，为什么相加是对的。学会了以后，很少有人再去想为什么加法是对的，加法在什么情况下是对的。
实际上这不是个简单问题。对于可数的东西，比如2只羊加3只羊，2+3=5，问题还算简单，但是对实数尤其是无理数相加，问题很复杂。
几何计算问题，比如两块面积相加，从严谨的数学角度要定义清楚并不简单，弄不好就会出Banach–Tarski悖论。（这个悖论就不细说了，可以理解成一个实体球能分成两个一模一样体积的球，这就违反了体积相加原则）。
20世纪上半叶，家在勒贝格积分的基础上完善了测度论，较好的解决了这个问题。
测度论是一个更一般的数学工具，严格定义了可测集合可测函数等概念并研究了上面的性质，不仅解决了算术系统的一些可加性问题，也给出概率论的公理化形式描述（在概率论里要面临什么时候概率相加，什么时候概率相乘等问题）。
实际上概率论是一种测度总和为1的特殊可测系统，而我们日常生活中的求面积体积等，则是另一种测度总和没有上限的可测系统。
黎曼积分就是最常见的积分形式，一般微积分即学习这个。而勒贝格积分（右）的特点是把相同值凑在一起求乘积，再把各个乘积加起来。
平面几何
初中学的平面几何，是古希腊人在逻辑学的基础上发明的，与别的民族比显得很象怪胎。
别的民族为了农业研究几何，处于丈量土地的需求，一般侧重于形状面积，而不会像古希腊人那样研究逻辑，甚至尺规作图这样没有多少现实意义的东西。
古希腊欧几里德著作《几何原本》里的内容，基本就是现在初中平面几何的框架，是最早的数学公理体系，也叫欧式几何。
近代以来，在许多数学家的共同努力下，数学的各个分支都被严密的公理化了，以保证整个数学大厦的自洽性，避免历史上出现了三次的数学危机（第一次由无理数引发，第二次由微积分，第三次由集合论。一旦出现危机，那意味着前面辛苦搭建的数学大厦早就埋下了矛盾的根子在里面，如不能解决则意味着几百年努力白费了）。
由于逻辑化的平面几何非常完美优雅，两千年来一直是数学的必学内容并用以训练思维能力。在解析几何与微积分出现之前，大量的几何问题通过欧式几何逻辑方法研究，大大丰富了人类的知识。
比如，牛顿对万有引力的推导，就主要用到了大量平面几何知识，他本人也成为人类顶尖数学家。
我们看到数学竞赛里总有一些很难的平面几何证明题，这些都是两千年来的积累，有些被直接拿过来出题，有些进行了一些修改。
这个领域的题库是巨大的，中学课堂上只选取了一些比较简单的。大学数学基本不会再研究这些东西，因为其公理化的数学思想并不复杂，而难题没有多少通用性。
几何原本在明朝由利玛窦传入中国，徐光启翻译，“几何”一词即当时的翻译。
在数学大厦里，除了欧式几何，还有非欧几何。这是由对欧式几何中第五公设的否定推出的，主要贡献者是高斯的学生黎曼，所以也叫黎曼几何。
非欧几何的实质是曲面空间，比如球面或马鞍形。数学家的研究往往超前于现实，在当时很多人觉得从公理体系角度非欧几何也是自洽的，但是有什么用呢？还是欧式几何更接近我们的直观世界。
一百年后爱因斯坦在研究广义相对论时，意识到引力的本质是空间的弯曲，从而恶补了几年非欧几何，完成了广义相对论。从此非欧几何开始被数学界重视，成为数学大厦里的一颗明珠。
数学家黎曼
立体几何
细心的学生会发现中学的立体几何跟平面几何差异很大，虽然也给出了很多公理定理推论，但是在出题时较少搞复杂的逻辑证明题，而侧重于计算。
从训练逻辑思维的角度出发，平面几何的难度就已经足够了，添加辅助线等技巧已经很难了。如果在立体几何里出这样的题目，难度就太高了，过于奇技淫巧。
立体几何画图看图都很费力，如果学生给的证明与答案不同，老师批阅起来也够头疼的。所以立体几何没有搞那么多花哨的东西。
立体几何数学题
面积，球体积，球冠面积，球冠体积，锥形体积，这些公式的推导，在中学立体几何里都是用了巧妙方法。在大学学习微积分后，都可以用微积分这个通用方法解决。
比如回头再看圆锥体积公式里有个系数1/3，这实际上就是平方函数在积分时得到的系数1/3。微积分里的球面积分环路积分等，将代数几何三角融为一体，非常有意思。
积分的对象也可以从实数空间推广到复数空间，这也是复变数函数复分析的主要研究内容之一。
中学毕业后再学习的立体几何内容，基本上都是跟微积分相关了。人类自从掌握了微积分这个高级而且通用的工具后，就爱不释手了。学会了二元一次方程，谁还用小学奥数凑的方法去解决鸡兔同笼问题？
立体几何
各种数：整数、分数、有理数、无理数、虚数、复数
我将这部分从上面的“算术与代数”部分分出来，这里侧重于代数结构的操作对象，而非运算性质。（代数结构由操作的对象比如具体的数字和运算比如加减组成）。
数在历史上的发展壮大，主要是从实用出发（比如整数不够用了，必须要用分数表示一部分东西），同时也有理论上的完备性考虑。
比如，正整数上的加法具备完备性，怎么加都还是正整数，但减法就不一定了，两个数相减，可能就不是正整数了，所以必须扩展到负整数上。
同理整数上的乘法是完备的，但除法就不行了，于是就导出了分数，所有这些统称有理数。
面对数轴上的一段，比如0到1，有理数是不是完备的呢？毕达哥拉斯认为是的，但有人发现不是。
比如，等腰直角三角形的斜边，根据勾股定理是直角边的根号2倍，这个数不是个有理数。这就是前面说的第一次数学危机。后来数学家给出了无理数的严密定义，解决了这个危机。把无理数包括进来，数扩展到了实数。
后来人们发现了更多的无理数，比如圆周率。幸福的家庭都是相同的，而不幸的家庭都是不同的。
有理数都显得差不多，而无理数之间差异很大，比如根号2和圆周率就大不相同，后者是超越数，不是任何实系数一元多次方程的根，比根号2更“无理”。
无理数是妖怪，有很多诡异的性质。比如有理数是可数（第三声）的，和正整数一样可以按一二三四五到无穷排成一列，但无理数是不可数（第三声）的，不能排成一列（排成一列的严谨数学说法是与正整数集合形成一一映射）。
数轴上0到1之间有无数个有理数，也有无数个无理数，每两个有理数之间显然都夹杂着无理数，那如果把所有有理数都搬家，让他们一个挨一个排在一起，长度是多少？这个问题的答案很惊人，是0。
也就是说，数轴上无理数比有理数多的多的多，要多无穷倍，有理数根本不占长度。有理数好象是一个个无比小的孤岛，漂浮在无理数的广阔海洋里。如果随机在数轴上选一点，选到无理数的概率“几乎”是100%。
《从一到无穷大》这本书里对无理数的这个性质有很多通俗的描述。这个问题的实质，是无穷大也有不同层次的无穷大，无理数在这个意义上要比有理数更大。
我在学代数结构关于可数与不可数内容时，看到了一个简洁的证明，然而更严密的论证要在测度论里才能学到，涉及到勒贝格积分和Borel集合等复杂的知识。
这个问题再深入研究下去，产生连续统假设，是希尔伯特23个问题中的第一个。
无理数毕竟还和数轴对应，而虚数/复数要依靠-1的平方根，对中学生而言更加难以理解。
由于课本和老师不可能解释清复数的必要性，学生只能强行学下去，就当-1的平方根存在。
从前面说的完备性出发，复数是有必要存在的，否则开根号就不是总能算出结果的。这个完备性的理由对数学家就足够了，但对普通人似乎还是不满意。
我们可以从一元三次方程求根公式中看出复数的必要性：无论哪个求根公式里，都要出现i即-1的平方根。
而且更绝妙的是，有些一元三次方程的三个根明明都是实数，但却必须要用带i的公式才能算出来，在计算过程中共轭复数加减会正好把i都消掉，得到实数解。
数学女神好像在说，复空间是真实存在的，实数空间上的有些问题，必须要绕到复空间上才能解决，最后又会回到实数空间。
这实际上是用数学建模解决实际问题的常见过程：一旦建模后，推导都在貌似不存在的数学世界内按数学规则进行，推导的每一步不见得对应真实世界，但推导的最终结果可以映射回真实世界。（列方程解方程，可能是最直观的例子。）
在工程应用上，复数最主要的物理含义是相位差，即时间延迟，比如交流电的描述。这是由复数的旋转性质（体现在欧拉公式，下图）决定的。
不过在这个应用上，复数不是绝对必要的，因为总可以用两个实数等价表示一个复数，但用复数是最简洁方便的。在这里，复数与几何产生了紧密的联系。
在高等数学里，复数的存在意义是不容置疑的，复分析和实分析一样，是数学分析里的重中之重。
